Решите неравенства (2х+1)(х-1)>9

Для решения неравенства ((2x+1)(x-1) > 9) начнем с приведения его к более удобной форме, раскрыв скобки и перенеся все члены в одну сторону:

[ (2x+1)(x-1) - 9 > 0 ]

Раскроем скобки:

[ 2x^2 - 2x + x - 1 - 9 > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - x - 10 > 0 ]

Теперь у нас есть квадратичное неравенство. Для дальнейшего решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения (2x^2 - x - 10 = 0) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

где (a = 2), (b = -1), (c = -10). Подставляя значения, получаем:

[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{1 \pm 9}{4} ]

Получаем два корня:

[ x_1 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2.5, \quad x_2 = \frac{1 - 9}{4} = \frac{-8}{4} = -2 ]

Теперь, имея корни (x = 2.5) и (x = -2), рассмотрим знаки выражения (2x^2 - x - 10) на интервалах между и вне корней. Используем метод интервалов:

• Когда (x < -2), подставим, например, (x = -3):

[ 2(-3)^2 - (-3) - 10 = 18 + 3 - 10 = 11 > 0 ]

• Когда (-2 < x < 2.5), подставим, например, (x = 0):

[ 2(0)^2 - 0 - 10 = -10 < 0 ]

• Когда (x > 2.5), подставим, например, (x = 3):

[ 2(3)^2 - 3 - 10 = 18 - 3 - 10 = 5 > 0 ]

Исходя из этого, выражение (2x^2 - x - 10 > 0) выполняется на интервалах:

[ x \in (-\infty, -2) \cup (2.5, +\infty) ]

Таким образом, решением неравенства ((2x+1)(x-1) > 9) являются значения (x), которые принадлежат интервалам ((-∞, -2)) и ((2.5, +∞)).

Для решения данного неравенства требуется привести его к каноническому виду, раскрыть скобки, вывести все члены в одну часть неравенства и найти корни уравнения.

1. Раскрываем скобки: 2х^2 - 2х + х - 1 > 9 2х^2 - x - 10 > 0

2. Переносим все члены в одну часть неравенства: 2х^2 - x - 10 - 0 2х^2 - x - 10 = 0

3. Находим корни уравнения: D = (-1)^2 - 42(-10) = 1 + 80 = 81 x1 = (1 + √81) / 4 = (1 + 9) / 4 = 10 / 4 = 2.5 x2 = (1 - √81) / 4 = (1 - 9) / 4 = -8 / 4 = -2

4. Проверяем знаки внутри и снаружи корней: Подставляем точки, лежащие в интервалах (-∞, -2), (-2, 2.5) и (2.5, +∞) в исходное неравенство и проверяем знак.

Таким образом, решением данного неравенства является: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2.5, +∞)